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内容简介
本书是教育部"国家理科基地创建名牌课程项目"的研究成果,其目的是为数学分析的习题课教学提供一套具有创新特色的教材和参考书. 本书以编著者们近20年来在数学分析及其习题课方面的教学经验为基础,吸取了国内外多种教材和研究性论著中的大量成果,非常注意经典教学内容中的思想、方法和技巧的开拓和延伸,在例题的讲解中强调启发式和逐步深入,在习题的选取中致力于对传统内容的更新、补充与层次化. 本书分上下两册出版.上册内容为极限理论和一元微积分,下册内容为无穷级数和多元微积分. 本书可作为高等院校理工科教师和学生在数学分析习题课方面的教材或参考书,也可以作为研究生入学考试和其他人员的数学分析辅导书.
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目录
目 录 下册内容简介 第十三章数项级数 §13. 1无穷级数的基本概念 13. 1. 1无穷级数的多种视角 1 13. 1. 2思考题 5 §13. 2正项级数 13. 2. 1比较判别法的一般形式 6 13. 2. 2比较判别法的特殊形式 7 13. 2. 3其他判别法 9 13. 2. 4例题 13 13. 2. 5练习题 17 §13. 3一般项级数 13. 3. 1一般项级数的敛散性判别法 20 13. 3. 2一般项级数的基本性质 21 13. 3. 3例题 23 13. 3. 4练习题 26 §13. 4无穷乘积 13. 4. 1基本内容 28 13. 4. 2例题 29 13. 4. 3练习题 34 §13. 5对于教学的建议 13. 5. 1学习要点 35 13. 5. 2参考题 36 第十四章 函数项级数与幂级数 §14. 1一致收敛性及其判别法 14. 1. 1基本内容 40 14. 1. 2例题 43 14. 1. 3练习题 48 §14. 2和函数与极限函数的性质 14. 2. 1三分法与极限顺序交换原理 49 14. 2. 2例题 51 14. 2. 3准一致收敛与控制收敛定理 53 14. 2. 4练习题 58 §14. 3幂级数的收敛域与和函数 14. 3. 1幂级数的基本理论 58 14. 3. 2思考题 59 14. 3. 3例题 60 14. 3. 4练习题 63 §14. 4函数的幂级数展开 14. 4. 1Taylor级数与函数的幂级数展开 65 14. 4. 2将函数展开为幂级数的基本方法 68 14. 4. 3例题 70 14. 4. 4练习题 73 §14. 5对于教学的建议 14. 5. 1学习要点 74 15. 5. 2参考题 75 第十五章 Fourier级数 §15. 1Fourier系数 15. 1. 1Fourier系数的计算公式 79 15. 1. 2Fourier系数的渐近性质 81 15. 1. 3Fourier系数的几何意义 82 15. 1. 4例题 84 15. 1. 5练习题 85 §15. 2Fourier级数的收敛性 15. 2. 1Dirichlet核和点收敛性 87 15. 2. 2Gibbs现象 89 15. 2. 3Fourier级数的Ces&ro求和 91 15. 2. 4Fourier级数的平方平均收敛 94 15. 2. 5Fourier级数的一致收敛性 95 15. 2. 6例题 98 15. 2. 7练习题 101 §15. 3对于教学的建议 15. 3. 1学习要点 102 15. 3. 2参考题 103 第十六章 无穷级数的应用 §16. 1积分计算 16. 1. 1关于逐项积分的补充命题 106 16. 1. 2例题 107 16. 1. 3练习题 111 §16. 2级数求和计算 16. 2. 1级数求和法 111 16. 2. 2例题 112 16. 2. 3练习题 118 §16. 3连续函数的逼近定理 16. 3. 1核函数方法 120 16. 3. 2Bernstein证明的概率解释 123 16. 3. 3逼近定理的一个初等证明 125 16. 3. 4逼近定理的其他证明 127 16. 3. 5逼近定理的应用举例 128 16. 3. 6练习题 130 §16. 4用级数构造函数 16. 4. 1处处连续处处不可微的函数 131 16. 4. 2填满正方形的连续曲线 133 §16. 5对于教学的建议 16. 5. 1学习要点 134 16. 5. 2参考题 134 第十七章 高维空间的点集与基本定理 §17. 1点与点集的定义及其基本性质 17. 1. 1点的分类及其性质 137 17. 1. 2集合的分类及其性质 138 17. 1. 3思考题 140 17. 1. 4练习题 141 §17. 2Rn中的几个基本定理 17. 2. 1综述 141 17. 2. 2例题 142 17. 2. 3练习题 144 §17. 3对于教学的建议 17. 3. 1学习要点 145 17. 3. 2参考题 145 第十八章 多元函数的极限与连续 §18. 1多元函数的极限 18. 1. 1重极限 147 18. 1. 2累次极限 150 18. 1. 3证明函数的重极限不存在的常用方法 150 18. 1. 4思考题 151 18. 1,5关于累次极限换序 151 18. 1. 6练习题 152 §18. 2多元函数的连续性 18. 2. 1定义与基本性质 153 18. 2. 2紧集上多元连续函数的性质 158 18. 2. 3多元连续函数的介值定理 160 18. 2. 4向量值函数 160 18. 2. 5练习题 161 §18. 3对于教学的建议 18. 3. 1学习要点 162 18. 3. 2参考题 163 第十九章 偏导数与全微分 §19. 1偏导数 19. 1. 1偏导数的定义 167 19. 1. 2偏导数与连续 168 19. 1. 3高阶偏导数 168 §19. 2全微分 19. 2. 1全微分的定义与基本性质 171 19. 2. 2多元函数的连续性. 偏导数存在性及可微性之间的关系 172 19. 2. 3思考题 174 19. 2. 4练习题 174 §19. 3复合函数求导 链式法则 19. 3. 1复合函数偏导数的链式法则 175 19. 3. 2例题 176 19. 3. 3齐次函数 180 19. 3. 4练习题 181 §19. 4向量值函数的微分学定理 19. 4. 1有限增量公式与拟微分平均值定理 182 19. 4. 2练习题 184 §19. 5对于教学的建议 19. 5. 1学习要点 184 19. 5. 2参考题 186 第二十章 隐函数存在定理与隐函数求导 §20. 1一个方程的情形 20. 1. 1隐函数存在定理 188 20. 1. 2隐函数求导 190 20. 1. 3思考题 191 20. 1. 4练习题 191 §20. 2隐函数组 20. 2. 1存在定理 192 20. 2. 2思考题 193 20. 2. 3求已知函数组所确定的隐函数组的导数 194 20. 2. 4存在定理的证明 196 20. 2. 5练习题 197 §20. 3变量代换问题 20. 3. 1仅变换自变量的情形 198 20. 3. 2自变量与函数同时变换的情形 199 20. 3. 3练习题 201 §20. 4隐函数及隐函数组的整体存在性 §20. 5对于教学的建议 20. 5. 1学习要点 203 20. 5. 2参考题 205 第二十一章 偏导数的应用 §21. 1偏导数在几何上的应用 21. 1. 1曲线的切向量. 切线与法平面 209 21. 1. 2曲面的法向量. 法线和切平面 210 21. 1. 3曲线的夹角. 曲面的夹角 211 21. 1. 4练习题 212 §21. 2方向导数与梯度 21. 2. 1方向导数 212 21. 2. 2梯度 213 21. 2. 3练习题 214 §21. 3Taylor公式与极值问题 21. 3. 1Taylor公式 215 21. 3. 2极值问题 218 21. 3. 3最大最小值问题 219 21. 3. 4练习题 223 §21. 4条件极值与条件最值 21. 4. 1条件极值 224 21. 4. 2条件最值 227 21. 4. 3隐函数的极值 231 21. 4. 4练习题 232 §21. 5高维Rolle定理 §21. 6对于教学的建议 21. 6. 1学习要点 235 21. 6. 2参考题 235 第二十二章 重积分 §22. 1二重积分的概念 22. 1. 1二重积分的定义 239 22. 1. 2可积函数类 240 22. 1. 3思考题 242 22. 1. 4练习题 242 §22. 2二重积分的计算 22. 2. 1矩形区域上的二重积分 243 22. 2. 2一般区域上的二重积分 245 22. 2. 3二重积分的变量替换 247 22. 2. 4练习题 250 §22. 3三重积分, n重积分 22. 3. 1三重积分在直角坐标系中的计算 251 22. 3. 2三重积分的变量替换 253 22. 3. 3例题 254 22. 3. 4n重积分 256 22. 3. 5练习题 256 §22. 4广义重积分 22. 4. 1广义重积分的定义 258 22. 4. 2收敛性判别法 259 22. 4. 3例题 260 22. 4. 4练习题 261 §22. 5重积分的应用举例 22. 5. 1几何应用 262 22. 5. 2物理应用 266 22. 5. 3重积分与不等式 268 22. 5. 4练习题 272 §22. 6对于教学的建议 22. 6. 1学习要点 273 22. 6. 2参考题 275 第二十三章 含参变量积分 §23. 1含参变量常义积分 23. 1. 1定义与性质 279 23. 1. 2几种常用的求参变量积分的方法 281 23. 1. 3练习题 285 §23. 2含参变量广义积分 23. 2. 1一致收敛性 285 23. 2. 2例题 287 23. 2. 3练习题 290 23. 2. 4主要性质 290 23. 2. 5例题 291 23. 2. 6练习题 295 §23. 3B函数与r函数 23. 3. 1B函数 296 23. 3. 2r函数 297 23. 3. 3例题 298 23. 3. 4r函数的特征刻画和几个重要公式的证明 301 23. 3. 5练习题 304 §23. 4对于教学的建议 23. 4. 1学习要点 305 23. 4. 2参考题 306 第二十四章曲线积分 §24. 1第一型曲线积分 24. 1. 1第一型曲线积分的定义与计算 309 24. 1. 2第一型曲线积分的应用 311 24. 1. 3练习题 312 §24. 2第二型曲线积分 24. 2. 1第二型曲线积分的定义和计算 313 24. 2. 2两类曲线积分的关系 315 24. 2. 3第二型曲线积分的应用 316 24. 2. 4练习题 317 §24. 3Green公式 24. 3. 1Green公式 318 24. 3. 2平面曲线积分与路径无关的条件 322 24. 3. 3练习题 324 24. 3. 4等周定理 325 §24. 4连续向量场的旋转度 §24. 5对于教学的建议 24. 5. 1学习要点 331 24. 5. 2参考题 333 第二十五章 曲面积分 §25. 1第一型曲面积分 25. 1. 1第一型曲面积分的定义和计算 336 25. 1. 2第一型曲面积分的应用 338 25. 1. 3练习题 339 §25. 2第二型曲面积分 25. 2. 1第二型曲面积分的定义和计算 340 25. 2. 2两类曲面积分之间的关系 344 25. 2. 3练习题 346 §25. 3Gauss公式与Stokes公式 25. 3. 1Gauss公式 347 25. 3. 2练习题 351 25. 3. 3Stokes公式 352 25. 3. 4练习题 354 25. 3. 5Rs中曲线积分与路径无关的条件 355 25. 3. 6练习题 357 §25. 4向量的外积, 微分形式的外微分与一般的Stokes公式 25. 4. 1向量的外积 357 25. 4. 2微分形式 358 25. 4. 3微分形式的外积 359 25. 4. 4微分形式的外微分 361 25. 4. 5变换与Jacobi行列式 362 25. 4. 6重积分的变量代换 363 25. 4. 7一般的Stokes公式 363 §25. 5对于教学的建议 25. 5. 1习题课教案一例 364 25. 5. 2学习要点 368 25. 5. 3参考题 369 第二十六章 场论初步 §26. 1散度和旋度 26. 1. 1散度 371 26. 1. 2旋度 372 26. 1. 3Hamilton算子V 374 26. 1. 4几种常用的场 376 26. 1. 5练习题 377 §26. 2Laplace算子与调和函数 26. 2. 1Laplace算子 377 26. 2. 2调和函数 379 26. 2. 3Poisson积分公式 381 26. 2. 4练习题 382 §26. 3对于教学的建议 26. 3. 1学习要点 383 26. 3. 2参考题 383 参考题提示 参考文献 中文名词索引 外文名词索引
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